Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник...

Ответ:

Нет, не существует.

Пошаговое объяснение:

Посчитаем, сколько ребер в данном многограннике.

Пусть $K$ - количество ребер в данном многограннике.

Сразу учтём, что $K$ - натуральное число.

Рассмотрим величину $D$ , которая равна периметру каждой грани.

Следовательно, должно выполняться следующее соотношение: $K=D/2$ (так как каждое ребро учитываем дважды).

Но число $D$ является нечётным, так как содержит нечётное количество нечётных слагаемых (нечётное количество граней с нечётным количеством сторон, по условию).

То есть из соотношения $K=D/2$ число $K$ - нецелое, что никак не может быть возможным.