Ответ:
Площадь треугольника AMN равна 24 ед.²
Объяснение:
Дан параллелограмм ABCD. На сторонах BC и CD взяты соответственно точки M и N так, что CM : MB = 2 : 1 и CN : ND = 2 : 1. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь параллелограмма ABCD равна 54.
Дано: ABCD - параллелограмм;
М ∈ ВС; CM : MB = 2 : 1;
N ∈ CD; CN : ND = 2 : 1;
S(ABCD) = 54.
Найти: S(AMN)
Решение:
- Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
⇒ S(BCD) = S(BAD) = 54 : 2 = 27;
S(ABC) = S(ADC) = 54 : 2 = 27.
Рассмотрим ΔMCN и ΔBCD.
∠C - общий;
CM : MB = 2 : 1 ⇒ СМ : СВ = 2 : 3;
CN : ND = 2 : 1 ⇒ CN : CD = 2 : 3.
⇒ ΔMCN ~ ΔBCD (по углу и двум пропорциональным сторонам)
k = 2/3 - коэффициент подобия.
- Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Рассмотрим ΔАСN и ΔAND.
AE - высота этих треугольников.
- Если треугольники имеют одну высоту, то отношение их площадей равно отношению оснований.
⇒ S(AND) = 27 : 3 = 9
Аналогично для ΔACM и ΔАМВ с высотой АН:
⇒ S(AMB) = 27 : 3 = 9
S(AMN) = S(ABCD) - S(MCN) - S(AND) - S(AMB) =
= 54 - 12 - 9 - 9 = 24 (ед.²)
Площадь треугольника AMN равна 24 ед.²