Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему числу; найти интервал...

Первые три члена ряда: $\dfrac{2x}{9},~ \dfrac{x^2}{12},~\dfrac{4x^3}{135}$

Радиус сходимости $R=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{a_n}{a_{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n+1}{3^n(n+2)}\cdot \dfrac{3^{n+1}(n+3)}{n+2}=3$

$|x|$

Ряд сходится при всех $x$ , принадлежащих интервалу $(-3;3)$ .

Исследуем теперь сходимость ряда на концах этого интервала.

Если $x=-3$ , то $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{(n+1)\cdot (-3)^n}{3^n(n+2)}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{(-1)^{n}(n+1)}{n+2}$ и этот ряд является расходящимся, поскольку не выполняется необходимое условие сходимости ряда $\lim\limits_{n\to \infty}a_n\ne 0$ . Следовательно, $x=-3$ — точка расходимости

Если $x=3$ , то $\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{(n+1)3^n}{3^n(n+2)}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\dfrac{n+1}{n+2}$ является расходящимся по необходимому признаку сходимости ряда. Т.е., $x=3$ — точка расходимости

Заключение: данный степенной ряд сходится абсолютно при $x \in (-3;3).$