Найдите объем пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7,8 и 9, если...

Question

Найдите объем пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7,8 и 9, если ее боковые ребра наклонены к основанию под углом 60o.

Answer 1

Ответ:

V(пир)=~72(ед.куб.)

Объяснение:

Comments

и слишком громоздкое.

---

Огромное спасибо.Японимаю, что решение не самое рациональное

---

Спасибо, что меня консультируете. Для меня это НЕОЦЕНИМАЯ помощь.

---

Все боковые ребра имеют одинаковый угол наклона к основанию.Значит, все три проекции равны, т.е. вершина пирамиды проецируется в точку, равноудаленную от вершин основания,а эта точка и есть центр треугольника АВС (точка в которой пересекаются все его медианы).

---

В самом начале решения я должна была обсновать утверждение, что призма прямая

Answer 2

Ответ:

42*sqrt(3)

Объяснение:

Площадь треугольника в основании по формуле Герона:

Полупериметр р=(7+8+9)/2=12

S=sqrt(12*(12-7)*(12-8)*(12-9))=sqrt(12*5*4*3)=12*sqrt(5),

Здесь sqrt(5)- корень квадратный из 5.

Все ребра  и их проекции на основание, очевидно равны.

В самом деле : высота пирамиды равна ребру, умноженному на синус угла наклона ребра к основанию, а все углы наклона равны между собой. Но тогда и проекции ребер на плоскость основания равны между собой и основание высоты равноудалено от вершин треугольнка.

Значит   проекции ребер на основание равны  радиусу описанной окружности:

Есть формула : R=abc/4S,  где S -площадь треугольника, а abc - произведение сторон.

Значит :

R=7*8*9/(4*12*sqrt(5))=7*3/2sqrt(5)

Высота пирамиды :R*tg(60)= 21*sqrt(3)/2sqrt(5)

Объем - треть произведения высоты на площадь основания, стало быть:

Объём пирамиды : (21*sqrt(3)/2sqrt(5))*12*sqrt(5)/3=7*6*sqrt(3)=42*sqrt(3)

Comments

Можно было еще проще. После того, как мы установили , что ребра равны, а основание высоты центр описанной окружности пишем сразу: R=abc/4S H=R*tg(60), V=(abc/12)*tg(60)=42*sqrt(3) Т.е. площадь было не нужно считать(сокращается).