7 гномов очень волнуются за Белоснежку и не пускают её гулять по лесу в одиночестве или в...

Question

4.9m просмотров

7 гномов очень волнуются за Белоснежку и не пускают её гулять по лесу в одиночестве или в сопровождении только одного гнома, а Белоснежка не хочет огорчать гномов. Сколько существует способов для Белоснежки: б) выбрать любую подходящую для прогулки компанию гномов? и вторая задача Алфавит цивилизации Набла состоит из пяти букв: а, б, с, в и г. Словом в языке цивилизации Набла может быть любая комбинация из букв их алфавита. б) сколько слов в языке Набла состоит не более чем из четырёх букв и содержит букву г?

Алгебра Luzutkin_zn (59 баллов) 10 Авг, 24 | 4.9m просмотров

Дан 1 ответ

Правильный ответ

1. Белоснежка из семи гномов может выбрать любых двух, любых трех, любых четверых, любых пятерых, любых шестерых или всех семерых. Двух гномов можно выбрать $C_7^2$ способами, трех - $C_7^3$ способами, и так далее до всех семи гномов, которых можно выбрать $C_7^7=1$ способом.

Тогда общее число способов можно рассчитать непосредственно как сумму:

$C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7=C_7^2+C_7^3+C_7^3+C_7^2+C_7^1+C_7^0=$

$=C_7^0+C_7^1+2C_7^2+2C_7^3=1+7+2\cdot\dfrac{7\cdot6}{1\cdot2} +2\cdot\dfrac{7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3}=120$

Можно было воспользоваться интересным свойством для чисел сочетания:

$C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7=$

$=\left(C_7^0+C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6+C_7^7\right)-C_7^0-C_7^1=$

$=2^7-C_7^0-C_7^1=128-1-7=120$

Ответ: 120

2. Рассмотрим ситуацию для слов длины $k$ . Всего слов длины $k$ можно составить $5^k$ штук (или обозначая через размещения с повторениями $\overline{A_5^k}$ ). Слов длины $k$ , не содержащих букву "г", можно составить $4^k$ штук. Таким образом, слов длины $k$ , содержащих букву "г" можно составить $\left(5^k-4^k\right)$ штук.