Обчислити площу фігури, обмежену даними лініями: у=3-х^2, y=2 СРОЧНО

Решение:

Вначале найдем точки пересечения двух графиков функций (рисунок ниже):

$3-x^2=2\\\\x^2=1 \\\\\left[\begin{array}{ccc}x_1=-1\\x_2=1\end{array}\right$

То есть, эти точки будут иметь координаты $(1;2)$ и $(-1;2)$ .

А теперь вспомним формулу Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b) - F(a)$

В данном случае $f(x) = (3-x^2)-(2) = 1 - x^2$ . $a=-1$ и $b=1$ (по вычислениям, проведенным раньше).

Считаем интеграл!

$\displaystyle \int\limits^1_{-1} { \Big ( 1 - x^2 \Big )} \, dx = \bigg ( \frac{x^{0+1}}{0+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} \bigg ) \; \Big | ^1_{-1} = \bigg ( x - \frac{x^{3}}{3} \bigg ) \; \Big | ^1_{-1} = \\\\\= \bigg (1 - \frac{1^3}{3} \bigg ) - \bigg ((-1) - \frac{(-1)^3}{3} \bigg ) = \frac{2}{3} - \bigg ( - \frac{2}{3} \bigg ) = \frac{4}{3}$

Задача решена!

Ответ:

$\dfrac{4}{3}$ , $1\dfrac{1}{3}$ или $1,(3)$ .