Дана функция z=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению.

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$z = \ln(x^2+y^2+2x+1)$

$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial }{\partial x} \ln(x^2+y^2+2x+1) = \dfrac{1}{x^2+y^2+2x+1}\cdot(2x+2) = \dfrac{2x+2}{x^2+y^2+2x+1}$

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \dfrac{\partial }{\partial x} \dfrac{2x+2}{x^2+y^2+2x+1}= \dfrac{2(x^2+y^2+2x+1)-(2x+2)^2}{(x^2+y^2+2x+1)^2}$

$\dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{\partial }{\partial y} \ln(x^2+y^2+2x+1) = \dfrac{1}{x^2+y^2+2x+1}\cdot 2y = \dfrac{2y}{x^2+y^2+2x+1}$

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \dfrac{\partial }{\partial y} \dfrac{2y}{x^2+y^2+2x+1}=\dfrac{2(x^2+y^2+2x+1)-4y^2}{(x^2+y^2+2x+1)^2}$

$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \dfrac{2(x^2+y^2+2x+1)-(2x+2)^2}{(x^2+y^2+2x+1)^2}+\dfrac{2(x^2+y^2+2x+1)-4y^2}{(x^2+y^2+2x+1)^2} = \dfrac{4x^2+4y^2+8x+4-4x^2-8x-4-4y^2}{(x^2+y^2+2x+1)^2}=0$