Найти область сходимости степенного ряда,Помогите пожалуйста срочно надо до завтра

Question

Дан 1 ответ

Участник Знаний_zn · Answer 1 · 2024-08-05T10:40:10+0000

Введу некоторые поправки: сумма начинается с n = 1.

$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{2^n(x+1)^n}{n^2}=\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{2^n}{n^2}\cdot (x+1)^n$

Степенной ряд в общем виде записывается следующим образом: $\sum a_nx^n$ , где $a_n$ - формула числовых коэффициентов. Для данного ряда: $a_n=\frac{2^n}{n^2}$ . Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где R — радиус сходимости, определяемый соотношением:

$R=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2^n}{n^2}\cdot \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n+1)^2}{2n^2}=\frac{1}{2}$

$|x+1|$

Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу $x \in \left(-\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right).$ Теперь нужно проверить сходимость ряда на концах этого интервала.

Если $x=-\frac{3}{2}$ имеем $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}$ - числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

\frac{1}{4}>\frac{1}{9}>..." alt="1>\frac{1}{4}>\frac{1}{9}>..." align="absmiddle" class="latex-formula">

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0$

Второе условие Лейбница выполняется. Таким образом, предложенный рассматриваемый ряд сходится. Теперь нужно проверить на условной и абсолютной сходимости ряда. Возьмём ряд по модулю: $\Big|\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^2}\Big|=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{1}{n^2}$ - сходящийся ряд. Следовательно, ряд $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n}{n^2}$ сходится абсолютно, значит $x=-\frac{3}{2}$ — точка сходимости.