Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-5 y=0 x=-3 x=-2

Решение :

Для решения подобных задач часто используют формулу Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \int\limits^b_a {f(x)} \, dx = F(b)-F(a)$

Да, мы здесь считаем интеграл для функции $y=5-4x$ (как результат приравнивания $y=4x-5$ и $y=0$ ). При этом, $a=-3$ и $b=-2$ .

$\displaystyle \int\limits^{-2}_{-3} {\Big ( 5-4x \Big)} \, dx = \bigg ( 5x - \frac{4x^2}{2} \bigg ) \Big | ^{-2}_{-3} =\bigg ( 5x-2x^2 \bigg ) \Big | ^{-2}_{-3} =\\\\= \Big ( 2 \cdot (-3)^2 - 5 \cdot (-3) \Big ) - \Big ( 2 \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) \Big ) = 33 - 18 = 15$

Таким образом, искомая площадь равна $15$ (ед²).

Но можно было и заметить (смотрите рисунок ниже), что у нас получилась трапеция ("обычная", не "криволинейная"), площадь которой равна $1 \cdot 13 + 4 \cdot 1 / 2 = 13+2 = 15$ ( {площадь четырехугольника} + {площадь треугольника} ).

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=4x-5 y=0 x=-3 x=-2

Решение :

Ответ : 15 .