Докажем, что пяти достаточно.
Пусть
два многочлена четвертой степени, которые совпадают в пяти точках. Тогда
является многочленом, имеющим пять корней. Но степень многочлена
Четырех может быть недостаточно: Всего у многочлена четвертой степени пять коэффициентов, значит, пять неизвестных. Четыре уравнения не всегда дают единственное решение.
Можно доказать и более общий результат:
Если
— многочлены, степени
, то
— минимальное количество точек, в которых достаточно проверить совпадение многочленов, чтобы доказать их тождественное равенство.
База: для
все очевидно: по аксиоме требуется две точки для однозначного определения прямой.
Переход: пусть для
верно. Докажем истинность для
. Для этого предположим обратное: достаточно
точек. Возьмем различные многочлены
степени