Найдите решение задачи Коши

$y = \arctan(\log(e^x -1) - 1)$ Пошаговое объяснение:

Это ДУ уравнение с разделяющимися переменными

$\frac{e^x dx}{e^x - 1} = \frac{dy}{\cos^2(y)}$

$\frac{d(e^x)}{e^x - 1} = \frac{dy}{\cos^2(y)}$

проинтегрируем

$\int \frac{d(e^x)}{e^x - 1} = \int \frac{dy}{\cos^2(y)}$

$\log(e^x - 1) = \tan(y) + C$

Давайте воспользуемся условием $y(\log(2)) = \frac{3\pi}{4}$ чтобы найти константу:

$\log(e^{\log(2)} - 1) = \tan(\frac{3\pi}{4}) + C$

$0 = -1 + C$

$C = 1.$

То есть решение задачи коши такое:

$\log(e^x - 1) = \tan(y) + 1$ ,

можно оставить так (тогда у нас будет просто неявно заданная функция), а можно выразить отсюда $y$ :

$y = \arctan(\log(e^x - 1) - 1)$