Дано: площадь полной поверхности конуса S = 45π см кв.
Развёртка боковой поверхности его - сектор с углом 60º.
Формула площади конуса: S = So + Sбок = πr² - πrL,
где r - радиус основания, L - образующая.
Используем вторую формулу площади боковой поверхности как сектора: πrL = πL²α/360°. Подставим α = 60° и сократим на πL:
r = L/6 или L = 6r.
Теперь значение образующей подставим в исходное уравнение, сокращённое на π: r² + r*6r = 45, получаем 7r² = 45 или r = √(45/7).
Находим высоту конуса H:
H = √(L² - r²) = √((6r)² - r²) = r√35 = √(45/7)*√35 = 15.
Ответ: V= (1/3)SoH = (1/3)*(π*(45/7))*15 = π*(225/7).