Ответ:
Пошаговое объяснение:
1) 
Разделим переменные. При этом мы можем потерять решение 
, но т.к. оно не удовлетворяет дополнительному условию, то оно не будет являться искомым решением.
\int -\frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x}+C." alt="-\frac{dy}{y^2}=\frac{dx}{x^2} => \int -\frac{dy}{y^2}=\int \frac{dx}{x^2} => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x}+C." align="absmiddle" class="latex-formula"> Используем дополнительное условие для определения константы:
1 = 1 +C => C =0 => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} => y=-x" alt="\frac{1}{1}=-\frac{1}{-1} + C => 1 = 1 +C => C =0 => \frac{1}{y} = -\frac{1}{x} => y=-x" align="absmiddle" class="latex-formula">
Ответ: 
2) 
. Так как это уравнение является линейным неоднородным, то решение можно искать в виде суммы общего решения линейного однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнений: 
Рассмотрим однородное уравнение:
xy'=-y => \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} => \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} => \ln|y|=-\ln|x|+\ln|C| => \ln|y|=\ln|\frac{C}{x}| => y_o=\frac{C}{x}" alt="xy'+y = 0 => xy'=-y => \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x} => \frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x} => \ln|y|=-\ln|x|+\ln|C| => \ln|y|=\ln|\frac{C}{x}| => y_o=\frac{C}{x}" align="absmiddle" class="latex-formula">
(модули можно опустить без знака плюс-минус в следствие произвольности постоянной С. При делении на y мы могли потерять решение y=0, но оно входит в семейство кривых при С=0)
Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: 
Следовательно, общее решение исходного уравнения: 
Ответ: 
3) 
Данное уравнение отличается от предыдущего только неоднородностью, поэтому нужно просто подобрать другое частное решение, удовлетворяющее неоднородности. Имеет смысл ее искать в виде: 
, подставим его в уравнение:
Два полинома тождественно равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях:
A=\frac{1}{2}, B=1 => \bar y = \frac{x}{2}+1" alt="2A = 1, B=1 => A=\frac{1}{2}, B=1 => \bar y = \frac{x}{2}+1" align="absmiddle" class="latex-formula">
Следовательно, общее решение исходного уравнения: 
Найдем константу из дополнительного условия:
C = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1" alt="y(1)=C + \frac{1}{2}+1 = 0 => C = -\frac{3}{2} => y=-\frac{3}{2x}+\frac{x}{2}+1" align="absmiddle" class="latex-formula">
Ответ: 
4) 
Применим алгоритм из пункта 2
\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} => \ln|y|=\ln|Cx| => y_o=Cx" alt="xy'-y = 0 => \frac{dy}{y}=\frac{dx}{x} => \ln|y|=\ln|Cx| => y_o=Cx" align="absmiddle" class="latex-formula">
Частное решение неоднородного уравнения легко угадывается: 
Следовательно, общее решение исходного уравнения: 
Ответ: 
5) 
Имеем дело с линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Его частные решения ищутся в виде: 
. Тогда характеристическое уравнение есть
(k-1)(k-3) =0 => k_1=1, k_2=3." alt="k^2-4k+3 =0 => (k-1)(k-3) =0 => k_1=1, k_2=3." align="absmiddle" class="latex-formula">
Общее решение такого уравнения записывается в виде линейной комбинации линейно независимых частных решений, экспоненты с неравными показателями являются линейно независимыми:
Ответ: 
6) 
Общее решение является суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Рассмотрим однородное: 
Характеристическое уравнение: 
3(k+1)(k+\frac{2}{3})=0 => k_1=-1, k_2=-\frac{2}{3}" alt="3k^2+5k+2=0 => 3(k+1)(k+\frac{2}{3})=0 => k_1=-1, k_2=-\frac{2}{3}" align="absmiddle" class="latex-formula">
Частное решение легко угадывается: 
Общее решение: 
Определим постоянные из дополнительных условий:
\left \{ {{C_1+C_2=2} \atop {-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1=8} \atop {C_2=-6}} \right. => y = 8e^{-x} -6e^{-2x/3}+4" alt="\left \{ {{y(0)=C_1+C_2+4=6} \atop {y'(0)=-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1+C_2=2} \atop {-C_1-\frac{2}{3}C_2 = -4}} \right. => \left \{ {{C_1=8} \atop {C_2=-6}} \right. => y = 8e^{-x} -6e^{-2x/3}+4" align="absmiddle" class="latex-formula">
Ответ: 