Сумма двух корней уравнения равна 1. Найдите корни уравнения.

+227 голосов
846k просмотров

Сумма двух корней уравнения равна 1. Найдите корни уравнения.

Алгебра (56 баллов) | 846k просмотров
Дан 1 ответ
+136 голосов
Правильный ответ

Ответ:

\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}, -\frac{1}{2}

Объяснение:

Пусть x_1,x_2,x_3 - корни кубического уравнения и x_1+x_2 = 1.

Тогда для каждого из корней x_1,x_2 выполняются равенства:

2x^3_1 - x^2_1 - 7x_1 - 3 =0;

2x^3_2-x^2_2-7x_2-3=0;

Сложим эти два равенства:

2(x_1^3+x_2^3) - (x_1^2+x_2^2) - 7(x_1+x_2) - 6 = 0;

2(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x^2_2) - ((x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2) - 7(x_1+x_2)-6=0;

2(x_1+x_2)((x_1+x_2)^2-3x_1x_2)-((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)-7(x_1+x_2)-6=0;

С учетом равенства x_1+x_2=1 имеем:

2(1-3x_1x_2)-(1-2x_1x_2)-7-6=0;

2-6x_1x_2-1+2x_1x_2-13=0;

4x_1x_2 = -12;

x_1x_2=-3;

По теореме, обратной теореме Виета, x_1,x_2 - корни квадратного уравнения:

x^2 -x-3 =0;

Решая это уравнение, имеем:

x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{2}, x_2 = \frac{1-\sqrt{13}}{2}

Исходный кубический многочлен можно представить в виде:

2x^3 - x^2 -7x - 3 = 2(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3);

2x^3 - x^2 - 7x - 3 = 2x^3 -2(x_1+x_2+x_3)x^2+2(x_1x_3+x_2x_3+x_1x_2)x-2x_1x_2x_3.

Два многочлена тождественно равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях. Тогда x_3 можно найти, например, из условия

image 1+x_3 = \frac{1}{2} => x_3 = -\frac{1}{2}" alt="x_1+x_2+x_3 = \frac{1}{2} => 1+x_3 = \frac{1}{2} => x_3 = -\frac{1}{2}" align="absmiddle" class="latex-formula">

(5.9k баллов)
Похожие задачи