Срочно 50 баллов 2 послед задания

Question

Дан 1 ответ

nikebod313_zn · Answer 1 · 2024-06-30T05:13:36+0000

4. а) Область определения функции — это такие значения аргумента, при которых функция существует.

Из рисунка видно, что функция определена на $x \in [-3; \ 5,5]$

б) Следует определить, при каких значениях аргумента функция существует на $y \in (-\infty; \ -2]$

Из рисунка видно, что $f(x) \leqslant -2$ при $x \in [-3; \ -2,5] \cup [1,5; \ 5,5]$

в) Производная $f'(x)$ принимает положительные значения, когда график функции $y = f(x)$ возрастает, и наоборот, производная $f'(x)$ принимает отрицательные значения, когда график функции $y = f(x)$ убывает.

Таким образом, 0" alt="f'(x) > 0" align="absmiddle" class="latex-formula"> при $x \in (-3; -1)$ и $f'(x) < 0$ при $x \in (-1; \ 3,5) \cup (3,5; \ 5,5)$

Здесь в точке $x = 3,5$ производная равна нулю (из графика видно, что в этой точке происходит перегиб функции).

г) Точки экстремума — это такие точки на графике функции, при переходе через которые производная меняет свой знак на противоположный.

Производная при переходе через точку с абсциссой $x = -1$ меняет знак с "+" на "–", значит имеем максимум в этой точке, и из графика $y_{\max} = 2,5$

д) Из графика видно:

$\displaystyle \max_{[-3; \ 5,5]} f(x) = f(-1)= 2,5$

$\displaystyle \min_{[-3; \ 5,5]} f(x) = f(5,5)= -4,5$

5. Уравнение касательной для функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_{0}$ имеет вид:

$y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$

Для функции $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$ составим уравнения касательных в точках с абсциссами $x_{1} = \dfrac{\pi}{2}$ и $x_{2} = \dfrac{3\pi}{2}$

$f'(x) = (2\sin x + 3\cos x)' = 2\cos x - 3\sin x$

$1) \ f\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 2\sin \dfrac{\pi}{2} + 3\cos \dfrac{\pi}{2} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2$

$f'\left(\dfrac{\pi}{2} \right) = 2\cos \dfrac{\pi}{2} - 3\sin \dfrac{\pi}{2} = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$

$y_{1} = -3\left(x - \dfrac{\pi}{2} \right) + 2 = -3x + \dfrac{3\pi}{2} + 2$

$2) \ f\left(\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2\sin \dfrac{3\pi}{2} + 3\cos \dfrac{3\pi}{2} = 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = -2$

$f'\left(\dfrac{3\pi}{2} \right) = 2\cos \dfrac{3\pi}{2} - 3\sin \dfrac{3\pi}{2} = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$

$y_{2} = 3\left(x - \dfrac{3\pi}{2} \right) - 2 = 3x - \dfrac{9\pi}{2} - 2$

Прямые вида $y = kx + b$ будут параллельными, если их коэффициенты $k$ будут одинаковыми.

В нашем случае $k_{1} = -3$ и $k_{2} = 3$ , поэтому эти касательные параллельными не будут.

Ответ: нет, не являются параллельными прямыми.