Помогите, даю 100 баллов

+699 голосов
5.0m просмотров

Помогите, даю 100 баллов

Математика (1.5k баллов) | 5.0m просмотров
Дан 1 ответ
+161 голосов

y' + \dfrac{7}{7x + 3}y = x - 3

Маємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого роду.

Використаємо метод Бернуллі. Нехай y = uv, \ y' = u'v + uv', де u = u(x), \ v = v(x) — невідомі функції.

u'v + uv' + \dfrac{7}{7x + 3}uv = x - 3

u'v + u\left(v' + \dfrac{7}{7x + 3}v \right) = x - 3

Нехай v' + \dfrac{7}{7x + 3}v = 0. Тоді u'v = x - 3. Маємо:

\displaystyle \left \{ {{v' + \dfrac{7}{7x + 3}v = 0 \ \ (1)} \atop {u'v = x - 3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2) }} \right.

(1) \ v' + \dfrac{7}{7x + 3}v = 0

\dfrac{dv}{dx} = -\dfrac{7}{7x + 3}v

\dfrac{dv}{v} = -\dfrac{7}{7x + 3}dx

\displaystyle \int \dfrac{dv}{v} = -\int \dfrac{7}{7x + 3}dx

\ln |v| = - \ln |7x + 3|

v = \dfrac{1}{7x + 3}

(2) \ u'v = x - 3

\dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{1}{7x + 3} = x - 3

du = (x - 3)(7x + 3)dx

\displaystyle \int du = \int (7x^{2} - 18x - 9)\, dx

u = \dfrac{7x^{3}}{3} - 9x^{2} - 9x + C

Тоді y = uv = \left(\dfrac{7x^{3}}{3} - 9x^{2} - 9x + C \right)\dfrac{1}{7x + 3}

Відповідь: y = \left(\dfrac{7x^{3}}{3} - 9x^{2} - 9x + C \right)\dfrac{1}{7x + 3}

(682 баллов)
Похожие задачи