6. Решить уравнение .

Ответ:

$x=pi * n - \frac{3*pi}{4} \\x=pi * n - \frac{pi}{4}$

где n ∈ Z

Пошаговое объяснение:

1) Применим формулу сокращённого умножения

$a^{3} + b^{3} = (a+b) (a^{2} - a*b + b^{2} )$

в левой части уравнения:

$(cos(x)^2 + sin(x)^2) (cos(x)^4 - cos(x)^2 * sin(x)^2 + sin(x)^4)$

2) По формуле sin 2x = 2 * sin x cos x,

тогда $(sin 2x)^{2}$ = 4 * $sin(x)^{2} * cos(x)^{2}$

3) Тогда наше уравнение имеет вид:

$(cos(x)^2 + sin(x)^2) (cos(x)^4 - cos(x)^2 * sin(x)^2 + sin(x)^4) = 1/4 * 4 cos(x)^2 * sin(x)^2$

$1 * (cos(x)^4 - cos(x)^2 * sin(x)^2 + sin(x)^4) = cos(x)^2 * sin(x)^2$

Перенесем всё в левую часть уравнения:

$cos(x)^4 - cos(x)^2 * sin(x)^2 + sin(x)^4 - cos(x)^2 * sin(x)^2 = 0$

Приводим подобные слагаемые:

$cos(x)^4 - 2 *cos(x)^2 * sin(x)^2 + sin(x)^4 = 0$

Свернём по формуле квадрата разности:

$((cos(x)^2 - sin(x)^2)^{2} = 0$

$cos(x)^2 - sin(x)^2 = 0$

$x=pi * n - \frac{3*pi}{4}$

$x=pi * n - \frac{pi}{4}$ ,

где n ∈ Z