Помогите, пожалуйста "Найти общий вид первообразных для функции"

Question

Дан 1 ответ

nikebod313_zn · Answer 1 · 2024-06-15T02:18:06+0000

$f(x) = \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1}$

Совокупность всех первообразных функции $f(x)$ называют неопределенным интегралом:

$\displaystyle \int f(x) \, dx = F(x) + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int f(x) \, dx = \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx$

Теорема: если функции $F$ и $G$ являются соответственно первообразными функций $f$ и $g$ на промежутке $I$ , то на этом промежутке функция $y = F(x) \pm G(x)$ является первообразной функции $y = f(x) \pm g(x):$

$\displaystyle \int \left(f(x) \pm g(x) \right) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx = F(x) \pm G(x) + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

Тогда $\displaystyle \int \left(\dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} + \dfrac{3}{\cos^{2}2x} - e^{8x+1} \right) \, dx =$

$\displaystyle = \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция $F$ является первообразной для функции $f$ на промежутке $I$ , а $k$ — некоторое число, то на этом промежутке функция $y = kF(x)$ является первообразной функции $y = kf(x):$

$\displaystyle \int kf(x) \, dx = k \int f(x) \, dx = kF(x) + C$

Тогда $\displaystyle \int \dfrac{8}{(3 - 5x)^{4}} dx + \int \dfrac{3}{\cos^{2}2x} dx - \int e^{8x+1} dx =$

$= \displaystyle 8 \int \dfrac{dx}{(3 - 5x)^{4}} + 3\int \dfrac{dx}{\cos^{2}2x} - \int e^{8x+1} dx$

Теорема: если функция $F$ является первообразной для функции $f$ на промежутке $I$ , а $k$ — некоторое число, отличное от нуля, то на соответствующем промежутке функция $y = \dfrac{1}{k} F(kx + b)$ является первообразной функции $y = f(kx + b):$