Дано:
△ABC - равнобедренный;
P△ABC = 36, AB = 16.
Найти:
S△ABC = ? (ед. кв).
Решение:
Т.к. △ABC - равнобедренный ⇒ AC = CB, по свойству равнобедренного тр-ка.
Предположим, что основание составляет 16. Тогда:
AC = CB = (36 - 16) : 2 = 20 : 2 = 10.
Проверим, верно ли это по теореме о неравенстве тр-ка.
"Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон".
⇒ 16 + 10 > 10, 10 + 10 > 16, 10 + 16 > 16 (всё совпадает, поэтому боковую сторону и основание мы нашли верно).
Формула площади треугольника выглядит следующим образом:
S△ = 1/2 ⋅ a ⋅ h, где a - основание (AB), h - высота.
Проведём из точки B к основанию равнобедренного тр-ка высоту CH. При этом у нас образовалось два равных прямоугольных треугольника ACH и BCH (их равенство можно доказать по всем признакам равенства прямоугольных тр-ков, исходя из того, что △ABC - равнобедренный).
"В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой".
⇒ CH является медианой и делит основание AB так, что AH = HB = 16 : 2 = 8.
Найдём высоту равнобедренного тр-ка ABC по теореме Пифагора (a = √(c² - b²), где a и b - катеты, c - гипотенуза).
CH = √(AC² - AH²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6.
CH = √(CB² - HB²) = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6.
Найдём площадь равнобедренного тр-ка ABC по указанной выше формуле:
S△ABC = 1/2 ⋅ 16 ⋅ 6 = 16/2 ⋅ 6 = 8 ⋅ 6 = 48 (ед. кв).
Ответ: 48 (ед. кв).