1. Если числа n и m - четные, то n = 2p, m = 2q, где p и q - целые числа. Тогда n + m = 2p + 2q = 2(p + q) - очевидно, четное число, что и требовалось доказать.
2. Предположим, что n - нечетное, и его квадрат равен четному числу. n = 2p + 1, где p - целое число. Тогда n² = (2p + 1)² = (2p)² + 2 · 2p · 1 + 1² = 4p² + 4p + 1 = 4p(p + 1) + 1 - очевидно, нечетное число при любом целом p. Получили противоречие - следовательно, n - четное.
3. Предположим, что если (n + m) - нечетное число, то возможно, что оба слагаемых являются или числами четными, или числами нечетными.
Если n и m - четные, то n = 2p, m = 2q. Тогда n + m = 2p + 2q = 2(p+q) - четное число, а не нечетное. Получили противоречие - следовательно, числа n и m не могут одновременно быть четными.
Если n и m - нечетные числа, то n = 2p + 1, m = 2q + 1. Тогда n + m = (2p + 1) + (2q + 1) = 2p + 2q + 2 = 2(p + q + 1) - четное, а не нечетное число. Получили противоречие - следовательно, n и m не могут быть нечетными одновременно.
Следовательно, одно из чисел четное, другое - нечетное, что и требовалось доказать.