Решить дифференциальное уравнение, которое допускает понижение порядка

+554 голосов
5.9m просмотров

Решить дифференциальное уравнение, которое допускает понижение порядка

Алгебра (7.2k баллов) | 5.9m просмотров
Дан 1 ответ
+118 голосов
Правильный ответ

xy''=y'\ln\dfrac{y'}{x}

Замена:

y'=p

\Rightarrow y''=p'

Получим уравнение:

xp'=p\ln\dfrac{p}{x}

p'=\dfrac{p}{x} \ln\dfrac{p}{x}

Замена:

\dfrac{p}{x}=t

\Rightarrow p=tx

\Rightarrow p'=t'x+tx'=t'x+t

Получим уравнение:

t'x+t=t \ln t

t'x=t \ln t-t

x\cdot\dfrac{dt}{dx} =t \ln t-t

\dfrac{dt}{t \ln t-t} =\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{dt}{t \ln t-t} =\int\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{dt}{t( \ln t-1)} =\int\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{d(\ln t)}{ \ln t-1} =\int\dfrac{dx}{x}

\int\dfrac{d(\ln t-1)}{ \ln t-1} =\int\dfrac{dx}{x}

\ln|\ln t-1| =\ln|x|+\ln C

\ln|\ln t-1| =\ln Cx

\ln t-1 =Cx

Обратная замена:

\ln \dfrac{p}{x}-1 =Cx

\ln p-\ln x-1 =Cx

\ln p=\ln x+1+Cx

p=e^{\ln x+1+Cx}

p=xe^{1+Cx}

Обратная замена:

y'=xe^{1+Cx}

\dfrac{dy}{dx} =xe^{1+Cx}

dy =xe^{1+Cx}dx

\int dy =\int xe^{1+Cx}dx

Найдем интеграл правой части по частям:

\int udv=uv-\int vdu

\int xe^{1+Cx}dx=\left=

=x\cdot\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}-\int\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}dx=\dfrac{x}{C}e^{1+Cx}-\dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}+C_2=

=\dfrac{x}{C}e^{1+Cx}-\dfrac{1}{C^2}e^{1+Cx}+C_2=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}\left(x-\dfrac{1}{C}\right)+C_2

Значит:

y=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}\left(x-\dfrac{1}{C}\right)+C_2

(271k баллов)
Похожие задачи