вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=2+х^2 ,y=4+x

Question

вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями у=2+х^2 ,y=4+x

Answer 1

у=2+х^2 ,y=4+x
найдем точки пересечения
решим для этого систему
у=2+х^2
y=4+x
*******
2+х^2=4+х
y=4+x
*******
х^2-х-2=0
y=4+x
*******
d=9
x1=-1
x2=2
y=.... - мне не интересно чему равно у в точках пересечения)))
очевидно что область ограничена сверху участком прямой а снизу участком пераболы
S = integral [-1;2] ( (4+x) - (2+х^2)) dx = integral [-1;2] ( 2+x-х^2) dx =
= (2x+x^2/2-x^3/3)|[-1;2] = (2*2+2^2/2-2^3/3)-(2*(-1)+(-1)^2/2-(-1)^3/3) = 4,5

Answer 2

Решение
у=2+х^2  - парабола  (1)
y=4+x   - прямая       (2)
определим пределы интегрирования, для чего найдем точки пересечения графиков приравняем   (1)  и (2)
2+х^2  =4+x
x^2 - x - 2 =0
D =(-1)^2 - 4*1*(-2) = 9
√D =  -/+ 3x = 1/2 ( -(-1)  -/+ 3 )
x1 = -1 ; x2 = 2
пределы интегрирования [-1;2]
площадь фигуры S = [-1;2]∫ (4+x) - (2+х^2) = [-1;2]∫ (4+x) - [-1;2]∫ (2+x^2)  
                              = (4x+x^2/2) |[-1;2] - (2x+x^3/3) |[-1;2] =                                 
                              = (4*2 + 2^2/2 - (4*(-1)+(-1)^2/2)) - (2*2+2^3/3 - (2*(-1) + (-1)^3/3)) =                              = 13,5 - 9 = 4,5
ответ S =4,5