Дана правильная четырехугольная пирамида. Стороны основания равны х, а боковое ребро у....

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Дано:

Правильная четырёхугольная пирамида SABCD;

Сторона основания AD = $x$ ;

Боковое ребро SD = $y$ .

Найти:

V = ?

Решение:

$V=S\cdot\dfrac{h}{3}$

Поскольку в основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, то S основания = Ѕ квадрата = $x^2$

Вершина высоты правильной пирамиды проецируется в центр ее основания - здесь это точка пересечения диагоналей квадрата.

Высоту h пирамиды найдём из прямоугольного треугольника SHD, гипотенуза которого равна боковому ребру пирамиды, a катет DH равен половине диагонали основания.

Диагонали квадрата равны.

⇒ $DB =\sqrt{x^2+x^2} =x\sqrt{2} \Rightarrow DH=\dfrac{x\sqrt{2}}{2}$

Найдём 2 катет по т.Пифагора (он же высота пирамиды):

$h^2=y^2-\Big(\dfrac{x\sqrt{2}}{2}\Big)^2=y^2-\dfrac{2x^2}{4}=y^2-\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{2y^2}{2}-\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{2y^2-x^2}{2}$

Отсюда: $h=\dfrac{\sqrt{2y^2-x^2}}{\sqrt{2}}$ .

Остаётся найти ответ на вопрос: чему равен объём пирамиды.

$V =\dfrac{1}{3}\cdot {S}_{(OCHOB.)} \cdot h=\dfrac{1\cdot x^2\cdot\sqrt{2y^2-x^2}}{3\cdot1\cdot\sqrt{2}}=\dfrac{x^2\cdot\sqrt{2y^2-x^2}}{3\sqrt{2}}$ .

Ответ: $\dfrac{x^2\cdot\sqrt{2y^2-x^2}}{3\sqrt{2}}$

Alyssa08_zn (22.4k баллов) 17 Фев, 24