1. Вдруг Касьян вздрогнул и умолк, пристально всматриваясь в чащу леса.
Запятая ставится, так как пристально всматриваясь в чащу леса - это обособленное обстоятельство, выраженное деепричастным оборотом
2. Яркое солнце выглянуло из-за туч, и на земле появились первые проталинки.
Запятая ставится, так как предложение сложное (сложносочиненное)