Ответ:
Пошаговое объяснение:y'' + 4y = 3·e²ˣ
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^(rx). Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r²+4 r + 0 = 0
D=16 - 4·1·0=16
Kорни характеристического уравнения:
r₁= 0
r₂= -4
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e⁰ˣ
y₂= e⁻⁻⁴ˣ
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
у=С₁+С₂е⁻⁻⁴ˣ, где С- const; Рассмотрим правую часть:
f(x) = 3*e :(2*x
)
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы имеет частное решение
y(x) = x^k ·e^(αx)·(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 3, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
y = Ae^(2x)
Вычисляем производные:
y' = 2·A·e^(2x
) y'' = 4·A·e^(2x
)
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 4y' = (4·A·e^(2x) + 4(2·A·e^(2x) )= 3·e^(2·x
) или
12·A·e^(2x) = 3·e^(2·x
)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 12A = 3
Решая ее, находим:
A = 1/4;
Частное решение имеет вид:
y=1/4 ·e^(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
у=С₁+ С₂е⁻⁻⁴ˣ + 1/4 ·e^(2x)