Главное избавиться от корней в разности корней, для этого функцию и умножают на выражение, сопряжённое разности корней.
Сопряжённое выражение - это то же выражение, но с противоположным знаком.
Умножим и числитель, и знаменатель на СУММУ тех же корней. В итоге в числителе получится разность квадратов, и корни в числителе сгорят.
Бояться этой суммы корней в знаменателе не стоит, просто продолжим упрощать выражение насколько возможно, а затем просто подставим число, к которому стремится предел. И получится ответ, идеально подходящий к имеющемуся у вас шаблону.
![\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+13}-\sqrt{4x+7}}{x-2}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+13}-\sqrt{4x+7})(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{(x+13)-(4x+7)}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3x+6}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3(x-2)}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3}{(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3}{(\sqrt{2+13}+\sqrt{(4*2)+7})}=\frac{-3}{2\sqrt{15}} \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x+13}-\sqrt{4x+7}}{x-2}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{(\sqrt{x+13}-\sqrt{4x+7})(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{(x+13)-(4x+7)}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3x+6}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3(x-2)}{x-2(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3}{(\sqrt{x+13}+\sqrt{4x+7})}\\\\\lim_{x \to 2} \frac{-3}{(\sqrt{2+13}+\sqrt{(4*2)+7})}=\frac{-3}{2\sqrt{15}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7Bx%2B13%7D-%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%7D%7Bx-2%7D%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D-%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%7D%7Bx-2%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B%28x%2B13%29-%284x%2B7%29%7D%7Bx-2%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-3x%2B6%7D%7Bx-2%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-3%28x-2%29%7D%7Bx-2%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-3%7D%7B%28%5Csqrt%7Bx%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B4x%2B7%7D%29%7D%5C%5C%5C%5C%5Clim_%7Bx%20%5Cto%202%7D%20%5Cfrac%7B-3%7D%7B%28%5Csqrt%7B2%2B13%7D%2B%5Csqrt%7B%284%2A2%29%2B7%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7B-3%7D%7B2%5Csqrt%7B15%7D%7D)