В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Доказать, что в этом треугольнике...

Question

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30°. Доказать, что в этом треугольнике отрезок перпендикуляра, проведённого к гипотенузе через её середину до пересечения с катетом, втрое меньше большего катета. Заполните пропуски в доказательстве. Пусть M середина гипотенузы прямоугольного треугольника ABC, ∠A = 30°, точка K лежит на катете ____ , MK⊥AB. Тогда BK =____ , ∠ =_____ ∠ABC – ∠___ = 60° – 30° = 30° = ∠KBM. Из равенства прямоугольных треугольников BCK и_____ следует, что MK =____ = ½____ = ½AK, поэтому_____ = CK + AK = CK + 2_______ = 3CK. Значит, MK = CK = ⅓______. Утверждение доказано. Нужно вместо пропусков вставить варианты ответов. Варианты ответов: CK; AC; BK; AK; ABK; BMK; CBK.

Answer 1

Пусть M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC, K — такая точка катета AC, для которой KM \perp AB. Тогда KM — катет прямоугольного треугольника AMK, лежащий против угла в 30o. Поэтому KM = 1/2AK.

Поскольку CM = 1/2AB = MB, то треугольник CMK — равнобедренный, а т.к. MBC = 60o, то этот треугольник равносторонний. Поэтому

KMC = KMB CMB = 90o -60o = 30o,

KCM = KCB - MCB = 90o -60o = 30o.

Следовательно, треугольник CKM — равнобедренный. Значит, CK = KM = 1/3AC.