Ответ:
1. Наконец-то он НАЧАЛ УЧИТЬСЯ.
Сказуемое: начал учиться - составное глагольное
2. Он ВЫШЕЛ ИЗ СЕБЯ.
Сказуемое: вышел из себя (фразеологизм) - простое глагольное (= разозлился)
3. Погода СОЛНЕЧНАЯ.
Сказуемое: солнечная - составное именное.
(Нулевая связка + именная часть солнечная)
4. Погода БЫЛА ХОРОШАЯ.
Сказуемое: была хорошая -
составное именное
(глагол-связка была + именная часть хорошая)