Пределы. Вот фотография. Всего один, помогите, пожалуйста.

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

В силу непрерывности показательной функции возможен предельный переход в степени. То есть

$\lim_{x \to \infty} 0,5^\frac{x^3+\sqrt[3]{x^9-1}}{1-x^3} =0,5^{ \lim_{x \to \infty}\frac{x^3+\sqrt[3]{x^9-1}}{1-x^3}}=$

Поделим дробь и числитель и знаменатель на $x^3$
Напишем для простоты только степень

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3+\sqrt[3]{x^9-1}}{1-x^3}= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^3+\sqrt[3]{x^9-1}}{x^3}}{\frac{1-x^3}{x^3}}=$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{\sqrt[3]{x^9-1}}{x^3}}{\frac{1}{x^3}-1}=$

Заметим, что слагаемое $\frac{1}{x^3}$ в знаменателе при $x\to \infty$ стремиться к нулю, то есть

$= \lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{\sqrt[3]{x^9-1}}{x^3}}{-1}= \lim_{x \to \infty}(-(1+\frac{\sqrt[3]{x^9-1}}{x^3}))=$

$=- \lim_{x \to \infty}(1+\frac{\sqrt[3]{x^9-1}}{x^3})=-1- \lim_{x \to \infty}\frac{\sqrt[3]{x^9-1}}{x^3}=$

Занесем $x^3$ под корень

$=-1- \lim_{x \to \infty}\sqrt[3]{\frac{x^9-1}{x^9}}}=-1- \lim_{x \to \infty}\sqrt[3]{1-\frac{1}{x^9}}}=$

Заметим, что слагаемое $\frac{1}{x^9}$ под корнем при $x\to \infty$ стремиться к нулю, то есть

$=-1- \lim_{x \to \infty}\sqrt[3]{1}=-1-1=-2$

Вычислили к чему стремиться степень. Теперь

$(0,5)^{-2}=(\frac{1}{2})^{-2}=(2^{-1})^{-2}=2^{-1*(-2)}=2^{1*2}=2^2=4$

Ответ: 4.

bearcab_zn (114k баллов) 15 Март, 18