В обоих случаях нужно делать замену переменной.
![\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0 {e^{sin(x)}}\cdot cosx \, dx \displaystyle \int\limits^{\frac{\pi}{6}}_0 {e^{sin(x)}}\cdot cosx \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D_0%20%7Be%5E%7Bsin%28x%29%7D%7D%5Ccdot%20cosx%20%5C%2C%20dx)
Что тут можно предпринять? Известно,
, вот и сделаем замену ![\displaystyle e^{sin(x)} = t \Rightarrow (e^{sin(x)})'dx=dt \Rightarrow cos\, x\cdot e^{sin \, x} dx=dt \displaystyle e^{sin(x)} = t \Rightarrow (e^{sin(x)})'dx=dt \Rightarrow cos\, x\cdot e^{sin \, x} dx=dt](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20e%5E%7Bsin%28x%29%7D%20%3D%20t%20%5CRightarrow%20%28e%5E%7Bsin%28x%29%7D%29%27dx%3Ddt%20%5CRightarrow%20cos%5C%2C%20x%5Ccdot%20e%5E%7Bsin%20%5C%2C%20x%7D%20dx%3Ddt)
Вообще идеально, получим простейший интеграл. Так как это определенный интеграл, то обратную замену можно не делать, а просто пересчитать пределы по самой замененной функции
![\displaystyle e^{sin\, 0} = e^0=1 \\ e^{sin \, \frac{\pi}{6}} = e^{0.5}=\sqrt{e} \displaystyle e^{sin\, 0} = e^0=1 \\ e^{sin \, \frac{\pi}{6}} = e^{0.5}=\sqrt{e}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20e%5E%7Bsin%5C%2C%200%7D%20%3D%20e%5E0%3D1%20%5C%5C%20e%5E%7Bsin%20%5C%2C%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%7D%20%3D%20e%5E%7B0.5%7D%3D%5Csqrt%7Be%7D)
То есть пределы станут: ![\displaystyle 0 \to 1; \: \frac{\pi}{6} \to \sqrt{e} \displaystyle 0 \to 1; \: \frac{\pi}{6} \to \sqrt{e}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%200%20%5Cto%201%3B%20%5C%3A%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%20%5Cto%20%5Csqrt%7Be%7D)
А теперь сам интеграл ![\displaystyle \int\limits^{\sqrt{e}}_1 {} \, dt = t \Big|\limits^{\sqrt{e}}_1 = \sqrt{e} -1 \displaystyle \int\limits^{\sqrt{e}}_1 {} \, dt = t \Big|\limits^{\sqrt{e}}_1 = \sqrt{e} -1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits%5E%7B%5Csqrt%7Be%7D%7D_1%20%7B%7D%20%5C%2C%20dt%20%3D%20t%20%5CBig%7C%5Climits%5E%7B%5Csqrt%7Be%7D%7D_1%20%3D%20%5Csqrt%7Be%7D%20-1)
Теперь следующий интеграл:
![\displaystyle \int\limits^5_1 {\frac{x}{\sqrt{1+3x}} } \, dx \displaystyle \int\limits^5_1 {\frac{x}{\sqrt{1+3x}} } \, dx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits%5E5_1%20%7B%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B1%2B3x%7D%7D%20%7D%20%5C%2C%20dx)
Что можно такого заменить? Попробуем взять корень, его производная даст тот же корень в знаменателе, да и сам
вполне нормально выражается, делаем:
![\displaystyle \sqrt{1+3x}=t \Rightarrow \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}dx=dt \\ 1+3x=t^2 \Rightarrow x=\frac{t^2-1}{3} \displaystyle \sqrt{1+3x}=t \Rightarrow \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}dx=dt \\ 1+3x=t^2 \Rightarrow x=\frac{t^2-1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Csqrt%7B1%2B3x%7D%3Dt%20%5CRightarrow%20%5Cfrac%7B3%7D%7B2%5Csqrt%7B3x%2B1%7D%7Ddx%3Ddt%20%5C%5C%201%2B3x%3Dt%5E2%20%5CRightarrow%20x%3D%5Cfrac%7Bt%5E2-1%7D%7B3%7D)
Заодно сразу новые пределы посчитаем:
![\sqrt{3\cdot 1+1} = \sqrt{4}=2 \\ \sqrt{3\cdot 5+1} = \sqrt{16}=4 \sqrt{3\cdot 1+1} = \sqrt{4}=2 \\ \sqrt{3\cdot 5+1} = \sqrt{16}=4](https://tex.z-dn.net/?f=%5Csqrt%7B3%5Ccdot%201%2B1%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B4%7D%3D2%20%5C%5C%20%5Csqrt%7B3%5Ccdot%205%2B1%7D%20%3D%20%5Csqrt%7B16%7D%3D4)
То есть ![1 \to 2; \: 5 \to 4 1 \to 2; \: 5 \to 4](https://tex.z-dn.net/?f=1%20%5Cto%202%3B%20%5C%3A%205%20%5Cto%204)
Теперь подставляем и смотрим, что получается:
![\displaystyle \int\limits^4_2 {\bigg(\frac{t^2-1}{3} \bigg)\cdot \frac{2}{3} } \, dt=\frac{2}{9}\int\limits^4_2 {(t^2-1)} \, dt =\frac{2}{9}\bigg(\frac{t^3}{3}-t \bigg) \bigg|\limits_2^{4}=\\=\frac{2}{9}\cdot \bigg(\frac{4^3}{3}-4\bigg)-\frac{2}{9}\bigg(\frac{2^3}{3}-2 \bigg)=\frac{2}{9}\bigg(\frac{64}{3}-\frac{12}{3}-\frac{8}{3}+\frac{6}{3} \bigg)=\frac{2}{9}\cdot \frac{50}{3}=\frac{100}{27} \displaystyle \int\limits^4_2 {\bigg(\frac{t^2-1}{3} \bigg)\cdot \frac{2}{3} } \, dt=\frac{2}{9}\int\limits^4_2 {(t^2-1)} \, dt =\frac{2}{9}\bigg(\frac{t^3}{3}-t \bigg) \bigg|\limits_2^{4}=\\=\frac{2}{9}\cdot \bigg(\frac{4^3}{3}-4\bigg)-\frac{2}{9}\bigg(\frac{2^3}{3}-2 \bigg)=\frac{2}{9}\bigg(\frac{64}{3}-\frac{12}{3}-\frac{8}{3}+\frac{6}{3} \bigg)=\frac{2}{9}\cdot \frac{50}{3}=\frac{100}{27}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%20%5Cint%5Climits%5E4_2%20%7B%5Cbigg%28%5Cfrac%7Bt%5E2-1%7D%7B3%7D%20%5Cbigg%29%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%7D%20%5C%2C%20dt%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Cint%5Climits%5E4_2%20%7B%28t%5E2-1%29%7D%20%5C%2C%20dt%20%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Cbigg%28%5Cfrac%7Bt%5E3%7D%7B3%7D-t%20%5Cbigg%29%20%5Cbigg%7C%5Climits_2%5E%7B4%7D%3D%5C%5C%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Ccdot%20%5Cbigg%28%5Cfrac%7B4%5E3%7D%7B3%7D-4%5Cbigg%29-%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Cbigg%28%5Cfrac%7B2%5E3%7D%7B3%7D-2%20%5Cbigg%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Cbigg%28%5Cfrac%7B64%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B12%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B8%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B6%7D%7B3%7D%20%5Cbigg%29%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B9%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B50%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B100%7D%7B27%7D)
Можно, конечно, было и получить неопределенный интеграл и в него подставить старые пределы, но пересчет на новые позволяет не совершать часть действий