Розв'яжіть рівняння (x^3)+2x=sinx

$x^3+2x=\sin x$

Перший корінь одразу видно: це 0 (бо $\sin 0=0$ ).

Доведемо, що інших коренів немає. Щоб їх не було, функція $f(x)=x^3+2x$ має рости (або спадати — тут це неважливо, бо обидві функції непарні) швидше, ніж функція $g(x)=\sin x$ на всій області визначення (тобто її похідна має бути більшою) Знайдемо похідні обох функцій:

$f'(x)=3x^2+2\\g'(x)=\cos x$

Доведемо, що g'(x)" alt="\forall x: f'(x) > g'(x)" align="absmiddle" class="latex-formula">, тобто \cos x" alt="3x^2+2> \cos x" align="absmiddle" class="latex-formula">. Це випливає з того, що $\cos x \leqslant 1$ (за означенням косинуса), а 1" alt="3x^2+2>1" align="absmiddle" class="latex-formula"> (доведемо це):