Никакой. Иноземные захватчики спокойно назначили патриархом своего пленника. Причем митрополита Филарета рукоположил в патриархи католический польский ксендз.
А несовершеннолетнего сына патриарха поляки поставили царем покоренной московии. После чего еще несколько лет польские армии давили восстание по всей стране, добивая остатки сторонников династии Рюриковичей.
Ну а когда король Сигизмунд скончался - ситуация изменилась сама собой. Но в том, что Польша потеряла контроль над своим вассалом - не заслуга Романовых, а обычный просер Польши. У наших западных соседей вообще есть такая традиция - фантастически просирать великие достижения своих героев.