Xy'-2y=2x^4 общее и частное решение дифференциального уравнения

0 голосов
251 просмотров

Xy'-2y=2x^4 общее и частное решение дифференциального уравнения

Алгебра (34 баллов) | 251 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

xy'-2y=2x^4

y'-\dfrac{2}{x}\cdot y=2x^3

Решение ищем в виде произведения ненулевых функций:

y=uv

y'=u'v+v'u

Подставляем:

u'v+v'u-\dfrac{2}{x}\cdot uv=2x^3

Пусть сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

u'v-\dfrac{2}{x}\cdot uv=0

u'-\dfrac{2}{x}\cdot u=0

u'=\dfrac{2}{x}\cdot u

\dfrac{du}{dx} =\dfrac{2}{x}\cdot u

\dfrac{du}{u} =\dfrac{2dx}{x}

\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{2dx}{x}

\ln|u| =2\ln|x|

\ln|u| =\ln x^2

u =x^2

Тогда второе слагаемое в левой части равно правой части:

v'u=2x^3

v'\cdot x^2=2x^3

v'=2x

\dfrac{dv}{dx} =2x

dv=2xdx

\int dv=\int2xdx

v=x^2+C

Общее решение:

y=uv=x^2(x^2+C)=x^4+Cx^2

Частное решение. Пусть C=1:

y_c=x^4+x^2

(271k баллов)
Похожие задачи