Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решить задачу...

0 голосов
75 просмотров

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решить задачу Коши. если не составит труда, то можно с пояснением, большое спасибо

image
Математика (12 баллов) | 75 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

xy' - y(\ln y - \ln x) = 0, \ \ \ y(1) = e^{2}

xy' = y\ln \dfrac{y}{x}

y' = \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x}

Пусть f(x,y) = \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x}

Сделаем проверку: f(\lambda x, \lambda y) = \dfrac{\lambda y}{\lambda x} \ln \dfrac{\lambda y}{\lambda x} = \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x} = f(x, y)

Таким образом, f(\lambda x,\lambda y) = \lambda ^{0}f(x,y) — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: y = u \cdot x, где u = u(x). Тогда y' = u'x + u

Имеем:

u'x + u = \dfrac{ux}{x} \ln \dfrac{ux}{x}

u'x + u = u \ln u

\dfrac{du}{dx} \cdot x = u \ln u - u \ \ \ | \cdot dx

du \cdot x = \left(u \ln u - u\right) dx \ \ \ | : x \neq 0

\dfrac{du}{u \ln u - u} = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{du}{u \ln u - u} = \int \dfrac{dx}{x}

Рассчитаем интегралы:

\displaystyle \int \dfrac{du}{u \ln u - u} = \left|\begin{array}{ccc}t = \ln u \ \ \\u = e^t \ \ \ \ \\du = e^t dt\end{array}\right| = \int \dfrac{e^t}{e^t t - e^t} \, dt = \int\limits {\frac{e^t}{e^t(t - 1)} } \, dt =

\displaystyle = \int\limits {\dfrac{1}{t - 1} } \, d(t - 1) = \ln |t - 1| + C = \ln |\ln u- 1| + C

\displaystyle \int\limits {\dfrac{dx}{x} } = \ln |x| + C

\ln |\ln u - 1| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}

\ln |\ln u - 1| = \ln|x| + \ln |C|

\ln |\ln u - 1| = \ln |Cx|

\ln u - 1 = Cx

\ln u = Cx + 1

u = e^{Cx+1}

Обратная замена:

\dfrac{y}{x} = e^{Cx+1}

y = x e^{Cx+1} — общее решение

Из начальных условий y(1) = e^{2} имеем:

e^{2} = e^{C+1}

2 = C + 1

C = 1

Частное решение:

y_{0} = x e^{x+1}

Ответ: y_{0} = x e^{x+1}

(682 баллов)
Похожие задачи