Сколько грамматических основ в предложении? Думали, спорили, пищали, визжали и наконец решили: просить Кота.
Я думаю, что одна: думали, спорили, пищали, визжали, решили.
В данном предложении одна грамматическая основа(это односоставное предложение, т.к. в нем нет подлежащего, есть только сказуемое): думали, спорили, пищали, визжали и решили- это однородные сказуемые.