Даю 50 баллов, помогите) ​

0 голосов
29 просмотров

Даю 50 баллов, помогите) ​

image
Алгебра (796 баллов) | 29 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов

Задачка в целом несложная. Принцип здесь такой:

сначала рассуждаем, как найти вероятность, что точка попадет в эту самую окружность. А как известно, вероятность противоположного события будет P\_=1-P_{+}

Теперь как найти вероятность попадания во вписанную окружность. Геометрическая вероятность в данном случае будет представлять собой отношение площади круга, ограниченного окружностью, вписанной в треугольник, к площади этого самого треугольника, так как попадание точки в какое-то конкретное место равновероятно по отношению к остальным местам.

Пусть у треугольника сторона a, его плошадь:

\displaystyle S_t=\frac{1}{2}a^2\cdot sin \ 60^{\circ} =\frac{a^2\sqrt{3}}{4}

Для любого треугольника известно, что S=pr, то есть это произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

\displaystyle p=\frac{3a}{2} \Rightarrow \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3a}{2}r \bigg|\cdot\frac{4}{a} \Rightarrow a\sqrt{3}=6r \Rightarrow r=\frac{a\sqrt{3}}{6}

Радиус вписанной окружности нашли, найдем площадь круга этого радиуса

\displaystyle S=\pi r^2 \Rightarrow S=\pi \cdot\bigg(\frac{a\sqrt{3}}{6} \bigg)^2=\frac{\pi a^2\cdot 3}{36}=\frac{\pi a^2}{12}

А теперь найдем отношение площадей:

\displaystyle \frac{S_o}{S_t}=\frac{\pi a^2}{12}:\frac{a^2\sqrt{3}}{4} =\frac{\pi a^2\cdot 4}{12 \cdot a^2\sqrt{3}} =\frac{\pi}{3\sqrt{3}}

Полученное число это P_{+}, а нам необходимо

\displaystyle P_{-}=1-P_{+} \Rightarrow P_{-}=1-\frac{\pi}{3\sqrt{3}}=1-\frac{\pi\sqrt{3}}{9}=\frac{9-\pi\sqrt{3}}{9}

Ответ:  \displaystyle \boxed{\frac{9-\pi\sqrt{3}}{9} }

(5.0k баллов)
0 голосов

Задача на применение геометрической вероятности.

Примем за меру площадь равностороннего треугольника и круга, вписанного в него. Пусть сторона треугольника х, тогда площадь s=х²√3/4

радиус вписанной окружности равен s/р=х²√3/(4*3x/2)=√3x/6, площадь круга равна πr²=π3х²/36=πх²/12

Найдем площадь части треугольника, которая не попадает в круг,

х²√3/4-π*х²/12=х²(√3-π)/12

Искомая вероятность равна  ( х²(√3-π)/12)/(х²√3/4)=(√3-π)/(3√3)=

(3*3-π√3)/3*3=(9-π√3)/9

(21.7k баллов)
Похожие задачи