Для функции f(х) найти первообразную

$F(x)=\int\sqrt{x+2}\,dx=\int(x+2)^\frac{1}{2}\,d(x+2)=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}(x+2)^{1+\frac{1}{2}}+C=$

$=\frac{1}{\frac{3}{2}}(x+2)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}+C$

Подставим координаты точки М(2; -3) в первообразную и найдем константу С

$\frac{2}{3}(2+2)^{\frac{3}{2}}+C=-3$

$\frac{2}{3}4^{\frac{3}{2}}+C=-3$

$\frac{2}{3}(4^{\frac{1}{2}})^3+C=-3$

$\frac{2}{3}2^3+C=-3$

$\frac{2*8}{3}+C=-3$

$C=-3-\frac{2*8}{3}$

$C=-3-\frac{16}{3}$

$C=-3-5\frac{1}{3}$

$C=-8\frac{1}{3}$

Значит в данном случае первообразная имеет вид

$F(x)=\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}-8\frac{1}{3}$

Ответ: $F(x)=\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}}-8\frac{1}{3}$