Какой падеж слова на ГРУДИ у меня лежал большой темный кот.
Предложный падеж(на чем?)
Предложный падёж. Вопрос " На чём? ".
Предложный. На чём? - на груди. Проверить можно подставив вместо неодушевленного одушевлённое. Т. е. Кот лежал (на ком?) на нём. Оба этих вопроса - "на ком" и "на чём" относятся к предложному падежу.