СРОЧНО 40 БАЛЛОВ Найди наибольшее и наименьшее значения функции x(t)=2t4−4t+7, если 1≤t≤2.

Ответ:

y(наиб) = 31 (в точке х = 2)

y(наим) = 5 (в точке x = 1)

На границах интервала.

Объяснение:

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции нам необходимо:

Найти все стационарные точки.

Найти все критические точки.

Проверить границы интервала.

Данные точки ищутся с помощью производной. Найдем производную данной функции:

x'(t) = 8 - 4.

Приравниваем производную к 0:

8 $x^{3}$ - 4 = 0

t = ± $\sqrt[3]{\frac{4}{3}}$ = ± $\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ - однако, эти точки не входят в наш интервал.

Таковых у нас нет, т.к. критические точки - это стационарные точки, но которые не входят в ОДЗ. (У нас ОДЗ от (-∞;∞+)).

Подставляем значения границ интервала и находим значения в этих точках:

x(1)=2*1^4−4*1+7 = 5

x(2)=2*2^4−4*2+7 = 31

Следовательно, это и есть наибольшее и наименьшее значение функции на заданном интервале.