1. Негодный - приставка -не- - пишем слитно потому что нет противопоставления, имеется синоним без приставки: испорченный.
2. Не стыдись - частица -не- - пишем раздельно потому что орфограмма: частица не с глаголом
3. Не боясь - частица -не- - пишем раздельно потому что орфограмма: частица не с глаголом
4. Небылиц - -не- является корнем - пишем слитно потому что слова "былиц" не существует (!)
5. Некогда - -не- является приставкой - пишем слитно потому что это отрицательное наречие, употреблённое не в безличном предложении,и не является усилительным наречием.