Мне важно разобраться в решении этого задания.Я очень надеюсь,что кто-то мне объяснит это...

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

Для начала выполним преобразования:

$y=\dfrac{2( 3x^2+4x)\cdot|x|}{3x+4}=\dfrac{2x( 3x+4)\cdot|x|}{3x+4}=2x|x|,\; x\ne-\dfrac{4}{3}$

Теперь раскроем модуль:

$y=\begin{equation*} \begin{cases} 2x^2,\; x\ge0, \\ -2x^2,\; x<0. \end{cases}\end{equation*}$

Т.е. задача оказалось примитивной.

Нужно просто построить фрагменты двух парабол!

$y=2x,\; x\ge0$

Таблица:

$\left\begin{array}{c}x|0|1|2\\y|0|2|8\end{array}\right$

Внимание!

Мы не забываем про то, что $x\ne-\frac{4}{3}$ .

Найдем y точки, которую нужно выколоть:

$y\ne2\times\left(-\dfrac{4}{3}\right)^2=\dfrac{32}{9}$

$y=-2x,\; x<0$

Таблица:

$\left\begin{array}{c}x|\boxed{0}|-1|-2\\y|\;0\;|-2|-8\end{array}\right$

Заметьте, точка -2 в таблице только потому, что нам нужно понять, куда придет график. Поэтому ее обведите в кружок (я обвел в квадрат).

Построение:

(см. фото)

При $y=m=\dfrac{32}{9}$ прямая y=m не имеет с графиком функции ни одной общей точки.