Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12см. Найти гипотенузу треугольника, длину...

Question

Дан 1 ответ

MistaB_zn · Answer 1 · 2020-06-08T11:05:46+0000

Обозначим катеты за a = 9 см, b = 12 см , гипотенузу за c, высоту за h, проекции катетов на гипотенузу за ca и ba.

Исходя из т. Пифагора, следует:

c=\sqrt{a^2+b^2} \\c = \sqrt{9^2+12^2}= \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15 \:\: (cm)" alt="c^2=a^2+b^2 => c=\sqrt{a^2+b^2} \\c = \sqrt{9^2+12^2}= \sqrt{81+144} = \sqrt{225} = 15 \:\: (cm)" align="absmiddle" class="latex-formula">

Найдет площадь прямоугольного треугольника:

$S = \frac{a\cdot b}{2} \\S = \frac{9\cdot 12}{2} = 9\cdot 6 = 54 \:\: (cm^2)$

Воспользуемся формулой площади треугольника через высоту и выразим из нее высоту:

2S = h\cdot c_h => h = \frac{2S}{c_h} \\h = \frac{2\cdot 54}{15} = \frac{108}{15}= 7\frac{3}{15} =7\frac{1}{5}=7,2 \:\: (cm)" alt="S = \frac{h\cdot c_h}{2} => 2S = h\cdot c_h => h = \frac{2S}{c_h} \\h = \frac{2\cdot 54}{15} = \frac{108}{15}= 7\frac{3}{15} =7\frac{1}{5}=7,2 \:\: (cm)" align="absmiddle" class="latex-formula">

Проекции катетов будут равны:

$ca = \sqrt{a^2-h^2} \\ca = \sqrt{9^2-7,2^2} = \sqrt{81-51,84}= \sqrt{29,16} = 5,4 \:\: (cm) \\\\cb = \sqrt{b^2-h^2} \\cb = \sqrt{12^2-7,2^2} = \sqrt{144-51,84}= \sqrt{92,16} = 9,6 \:\: (cm)$

или $cb = c-ca = 15-5,4 = 9,6 \:\: (cm)$

—————————————————————————————

Высоту и проекции катетов также можно найти через пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

– высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу:

h=\sqrt{ca\cdot cb}" alt="h^2 = ca\cdot cb => h=\sqrt{ca\cdot cb}" align="absmiddle" class="latex-formula">

– катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:

ca = \frac{a^2}{c} \\b^2 = cb\cdot c = > cb = \frac{b^2}{c}\\\\" alt="a^2 = ca\cdot c = > ca = \frac{a^2}{c} \\b^2 = cb\cdot c = > cb = \frac{b^2}{c}\\\\" align="absmiddle" class="latex-formula">

—————————————————————————————

$ca=\frac{9^2}{15} = \frac{81}{15} = 5,4 \:\: (cm) \\\\cb=\frac{12^2}{15} = \frac{144}{15} = 9,6 \:\: (cm) \\\\h=\sqrt{5,4\cdot 9,6} =\sqrt{51,84} = 7,2 \:\: (cm)$

Ответ: гипотенуза равна 15 см, высота — 7,2 см, проекции катетов — 5,4 см и 9,6 см.