Вычислить максимальный объём цилиндра, полная поверхность которого равна 9,9см². Значение числа π в вычислениях округлить до 3. Результат округли до десятых сантиметра.
Объяснение:
S(пол.цил.)=2πR²+2πRH ,π=3.
9,9=2*3*R(R+H ),
R(R+H )=1,65 ,
R²+RH=1,65, RH=1,65-R² ,Н=(1,65-R² ): R ,Н=(1,65/R)-R.
V (цилин.)=S(осн)*Н ,
V (цилин.)=πR²* ( (1,65/R)-R )=π( 1,65R -R³ ).
Максимальный объем достигается в точке максимума .
Найдем максимум функции V(r) . Для этого вычислим производную и приравняем к нулю :
V ’(r)=( π( 1,65R -R³ ))’ = π( 1,65 -3R² ) ; 1,65 -3R²=0 , R²=0,55 ,R=√0,55≈0,7.
При R<0 производная V ’(r)>0
При R>0,7 производная V ’(r)<0, значит R=0,7 точка максимума, в ней достигается наибольшее значение функции V(r).</p>
Найдем объем V (цилин.)=π( 1,65R -R³ )=
=3*0,7*(1,65-0,7²)≈2,436≈2,4 (см³)