Найти частные производные и доказать что функция устраивает соотношение

Question 1

Question 2

Решите задачу:

$z=\dfrac{x^2\cdot y^2}{x+y}\\\\\\\dfrac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{2xy^2(x+y)-x^2y^2}{(x+y)^2}=\dfrac{x^2y^2+2xy^3}{(x+y)^2}\\\\\\\dfrac{\partial z}{\partial y}=\dfrac{2yx^2(x+y)-x^2y^2}{(x+y)^2}=\dfrac{x^2y^2+2x^3y}{(x+y)^2}\\\\\\\dfrac{\partial^2z}{\partial x^2} =\dfrac{(2xy^2+2y^3)(x+y)^2-2(x+y)(x^2y^2+2xy^3)}{(x+y)^4}=\\\\\\=\dfrac{2x^2+4xy^3+2y^4-2x^2y^2-4xy^3}{(x+y)^3}=\dfrac{2y^4}{(x+y)^3}$

$\dfrac{\partial ^2z}{\partial y^2}=\dfrac{(2x^2y+2x^3)(x+y)^2-2(x+y)(x^2y^2+2x^3y)}{(x+y)^4}=\\\\\\=\dfrac{4x^3y+2x^2y^2+2x^4-2x^2y^2-4x^3y}{(x+y)^3}=\dfrac{2x^4}{(x+y)^3}$

$\dfrac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=\dfrac{(2x^2y+6xy^2)(x+y)^2-2(x+y)(x^2y^2+2xy^3)}{(x+y)^4}=\\\\\\=\dfrac{2x^3y+8x^2y^2+6xy^3-2x^2y^2-4xy^3}{(x+y)^3}=\dfrac{2x^3y+6x^2y^2+2xy^3}{(x+y)^3}$

$\dfrac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}=\dfrac{\partial ^2z}{\partial y\partial x}$

$x\, z''_{xx}+y\, z''_{yy}=\dfrac{2xy^4}{(x+y)^3}+\dfrac{2x^4y}{(x+y)^3}=\dfrac{2xy\, (y^3+x^3)}{(x+y)^3}=\\\\\\=\dfrac{2xy\, (x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x+y)^3}=\dfrac{2xy(x^2-xy+y^2)}{(x+y)^2}$

Question 3

А в задачах этой темы может быть такое что функция не устраивает соотношение?

Question 4

может, тогда должны написать : проверить выполнение соотношения

Question 5

проверить выполнение соотношения это другая вариация условия раз данное мне условие не выполняется может быть так как вы написали?

Question 6

Можно вопрос.Раз в четвертом ряде где d^2z/dx^2 (x+y) сокращается с знаменателем то почему этого не происходит в нахождении dz/dx ? И в нахождении d^2z/dx^2 куда делись 2x^2 и -2x^2*y^2 они же не могу сократится.

Question 7

Самое главное где минус в первой дроби там вить -x^2*y^2 вы перенесли в перед а минус куда делся я не понимаю)

Question 8

все это я уже с этим запутался все понял где он

Question 9

Ладно с этой задачей все.

Question 10

можно решить новую задачу? там такого не будет)

Question 11

Можно вопросик а xz'' от xx зачем x перед z если то что это z От x указано под z . Тоже и с y почему или зачем оно стоит перед z а точнее умножаеться на z.

Question 12

Все наконец то найдена ошибка условия если не тяжело я создам новый вопрос с правильным условием.