1. В общественном месте говорят не громко, а тихо.
Пишем раздельно, т. к. в предложении противопоставление с союзом "а".
2. Этот фильм вовсе мне не интересен.
Пишем раздельно, т. к. в предложении фраза "вовсе не"
3. Он непоколебимо верил в успех нашего дела.
Пишем слитно, т. к. можно подобрать синоним без не.
4. Вдруг откуда-то донёсся непонятный звук.
Пишем слитно, т. к. можно подобрать синоним без не.