Запишите комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и пока-зательной формах

0 голосов
39 просмотров

Запишите комплексные числа в алгебраической, тригонометрической и пока-зательной формах


image

Математика (19 баллов) | 39 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов
Правильный ответ

z=\dfrac{\sqrt{3} +i^{11}}{1-i\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} +(i^2)^5\cdot i}{1-i\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3} +(-1)^5\cdot i}{1-i\sqrt{3} } =\dfrac{\sqrt{3}-i}{1-i\sqrt{3} } =\\=\dfrac{(\sqrt{3}-i)(1+i\sqrt{3})}{(1-i\sqrt{3})(1+i\sqrt{3}) } =\dfrac{\sqrt{3}+3i-i-i^2\sqrt{3}}{1^2-(i\sqrt{3})^2 } =\dfrac{\sqrt{3}+2i+\sqrt{3}}{1-3i^2 } =\\=\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{1+3} =\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{4} =\dfrac{\sqrt{3}+i}{2} =\dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{1}{2}i

Алгебраическая форма записи:

\boxed{z=\dfrac{\sqrt{3}}{2} +\dfrac{1}{2}i}

Тригонометрическая форма записи:

z=|z|(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z))=\rho(\cos\varphi+i\sin\varphi)

|z|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} =1

Зная, что \cos\varphi=\dfrac{\sqrt{3} }{2} и \sin\varphi =\dfrac{1}{2} найдем аргумент: \varphi =\dfrac{\pi}{6}.

Тригонометрическая форма записи:

\boxed{z=\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}}

Показательная форма записи:

z=\rho e^{i\varphi}

Показательная форма записи:

\boxed{z=e^{\frac{\pi}{6}i}}

(271k баллов)