Мы прогуливались по-другому мосту. Мосту какой член предложения?

Ответ: Дополнение.

Пошаговое объяснение:

Отвечает на падежный вопрос ( По какому мосту?) Соответственно, является дополнением. И ещё: пишется по другому, без -, так как не отвечает на вопрос как.