Помогите пожалуйста решить и, желательно, с объяснением: 5sinX+cosX=5

Question

Помогите пожалуйста решить и, желательно, с объяснением: 5sinX+cosX=5

Answer 1

5sinX+cosX=5,

Заменим sinx ,cosx через tg(x/2).

10tg^2(x/2)/(1+tg^2(x/2))+(1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))=5. Заменим tg(x/2)=y.

10y+1-y^2=5+5y^2, 1+y^2yне равно 0.

6y^2-10y+4=0,

3y^2-5у+2=0,D=1>0

y=1, tg(x/2)=1, x/2=пи/4+пи*n,n принадл. Z, x=пи/2+2пи*n,n принадл. Z

y=2/3, tg(x/2)=2/3, x/2=arctg(2/3)+пик, к принадл. Z, x=2arctg(2/3)+2пи*к, к принадл. Z

Answer 2

Заменим cosX=кореньиз(1-sin(^2)X)

Значит, уравнение принимает вид:

кореньиз(1-sin(^2)X) =5-5sinX

Возводим обе части в квадрат:

1-  sin(^2)X=25-50sinX+25sin(^2)X 

26sin(^2)X  - 50sinX+24=0

13sin(^2)X  - 25sinX+12=0

Пусть sinX=t, |t|<=1</p>

13t^2  - 25t+12=0\

D=625-624=1

t1=(25+1)/26 =1, 

t2=(25-1)/26=12/13

Вернемся к исходной переменной

sinX=1 или  sinX=12/13

x=П/2+ 2Пк, к принадлежит Z

Х=(-1)^k*arcsin(12/13)+Пк, к принадлежит Z

Ответ:  П/2+ 2Пк,(-1)^k*arcsin(12/13)+Пк, к принадлежит Z