Решите уравнение 130, пожалуйста. Ответ должен быть ±1;±3

0 голосов
34 просмотров

Решите уравнение 130, пожалуйста. Ответ должен быть ±1;±3

image
Алгебра (164 баллов) | 34 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Сделаем замену: \frac{(x^2-5)^2}{4}=t. Очевидно, что t принимает только неотрицательные значения.

Уравнение принимает вид

(t-3)(t+2)-6=0;\\\\t^2+2t-3t-6-6=0\\\\t^2-t-12=0.

Корни найдем по теореме Виета. Произведение корней = -12, их сумма = 1. Очевидно, корни уравнения - t=-3,t=4. Так как t\geq 0, к замене возвращаемся только для t=4:

\frac{(x^2-5)^2}{4}=4

Домножаем обе части на 4 и раскрываем скобки:

(x^2)^2-2\cdot5x^2+5^2=16;\\\\x^4-10x^2-9=0.

Делаем еще одну замену: x^2=u\geq 0. Имеем очередное квадратное уравнение

u^2-10u+9=0,

у которого корня - по все той же теореме Виета - u_1=1, u_2=9.

Итого, или x^2=1\Rightarrow x=\pm 1, или x^2=9\Rightarrow x=\pm 3.

ОТВЕТ: ±1; ±3.

(1.2k баллов)
Похожие задачи