Условие и вопрос ** рисунке!!!

Question

Дан 1 ответ

Medved23_zn · Answer 1 · 2020-06-05T12:57:42+0000

1. Метод мат. индукции заключается в следующем:

1) проверить истинность утверждения для некоторого произвольного номера - база индукции;

2) предположив, что утверждение верно для номера $n=k$ , доказать, что утверждение верно и для номера $n=k+1$ - переход индукции.

2. Докажем, что равенство

$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

верно при любом натуральном $n.$

1) База: при $n=1$ имеем: $1=\frac{1(1+1)}{2}$ - верно.

2) Переход: предположим, что при $n=k$ выполняется равенство

$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$ .

Докажем, что оно выполняется и при $n=k+1$ .

Подставляем в формулу $n=k+1:$

$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+1+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$ .

Внимательно рассмотрим левую часть и заметим, что согласно нашему предположению $1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$ .

Преобразуем левую часть:

$1+2+...+k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=(k+1)(\frac{k}{2}+1)=(k+1)\cdot\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$ .

Получили в точности то, что было необходимо. Следовательно, равенство $1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$ верно при всех $n$ , что и требовалось доказать.

3. Ошибка заключается в том, что из того, что одна собака имеет одну породу, не следует то, что в группе из двух собак каждая из собак обязательно будет иметь одну и ту же породу. Т.е. базой индукции должно выступать не $A(1)$ , а $A(2)$ .